此条目的主题是无穷限或无界的积分。关于“广义黎曼积分”（也简称“广义积分”），请见“Henstock–Kurzweil积分”。
系列条目微积分学
函数
极限论
微分学
积分
微积分基本定理
微积分发现权之争（英语：Leibniz–Newton calculus controversy）
基础概念（含极限论和级数论）
实数性质
函数
单调性
初等函数
数列
极限
实数的构造
1=0.999…
无穷
衔尾蛇
无穷小量
ε-δ语言
实无穷（英语：Actual infinity）
大O符号
最小上界
收敛数列
芝诺悖论
柯西序列
单调收敛定理
夹挤定理
波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理
斯托尔兹-切萨罗定理
上极限和下极限
函数极限
渐近线
邻域
连续
连续函数
不连续点
狄利克雷函数
稠密集
一致连续
紧集
海涅-博雷尔定理
支撑集
欧几里得空间
点积
叉积
三重积
拉格朗日恒等式
等价范数
坐标系
凸集
巴拿赫不动点定理
级数
收敛级数
几何级数
调和级数
项测试
格兰迪级数
收敛半径
审敛法
柯西乘积
黎曼级数重排定理
函数项级数（英语：function series）
一致收敛
迪尼定理
数列与级数
连续
函数
一元微分
差分
均差
微分
微分的线性
导数
流数法
二阶导数
光滑函数
高阶微分
莱布尼兹记号（英语：Leibniz's_notation）
幽灵似的消失量
介值定理
中值定理
罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
泰勒公式
求导法则
乘积法则
广义莱布尼茨定则（英语：General Leibniz rule）
除法定则
倒数定则
链式法则
洛必达法则
反函数的微分
Faà di Bruno公式（英语：Faà di Bruno's formula）
对数微分法
导数列表
导数的函数应用
单调性
切线
极值
驻点
拐点
求导检测（英语：derivative test）
凸函数
凹函数
简森不等式
曲线的曲率
埃尔米特插值
达布定理
魏尔施特拉斯函数
一元积分
积分表
定义
不定积分
定积分
黎曼积分
达布积分
勒贝格积分
积分的线性
求积分的技巧
换元积分法
三角换元法
分部积分法
部分分式积分法
降次积分法
微元法
积分第一中值定理
积分第二中值定理
微积分基本定理
反常积分
柯西主值
积分函数
Β函数
Γ函数
古德曼函数
椭圆积分
数值积分
矩形法
梯形公式
辛普森积分法
牛顿-寇次公式
积分判别法
傅里叶级数
狄利克雷定理
周期延拓
魏尔施特拉斯逼近定理
帕塞瓦尔定理
刘维尔定理
多元微积分
偏导数
隐函数
全微分
微分的形式不变性
二阶导数的对称性
全微分
方向导数
标量场
向量场
梯度
Nabla算子
多元泰勒公式
拉格朗日乘数
黑塞矩阵
鞍点
多重积分
逐次积分
积分顺序（英语：Order of integration (calculus)）
积分估值定理
旋转体
帕普斯-古尔丁中心化旋转定理
祖暅-卡瓦列里原理
托里拆利小号
雅可比矩阵
广义多重积分
高斯积分
若尔当曲线
曲线积分
曲面积分
施瓦茨的靴（俄语：Сапог Шварца）
散度
旋度
通量
可定向性
格林公式
高斯散度定理
斯托克斯定理及其外微分形式
若尔当测度
隐函数定理
皮亚诺-希尔伯特曲线
积分变换
卷积定理
积分符号内取微分
莱布尼茨积分定则（英语：Leibniz integral rule）
多变量原函数的存在性
全微分方程
外微分的映射原像存在性
恰当形式
向量值函数
向量空间内的导数推广（英语：generalizations of the derivative）
加托导数
弗雷歇导数
矩阵的微积分（英语：matrix calculus）
弱微分
微分方程
常微分方程
柯西-利普希茨定理
皮亚诺存在性定理
分离变数法
级数展开法
积分因子
拉普拉斯算子
欧拉方法
柯西-欧拉方程
伯努利微分方程
克莱罗方程
全微分方程
线性微分方程
叠加原理
特征方程式
朗斯基行列式
微分算子法
差分方程
拉普拉斯变换
偏微分方程
拉普拉斯方程
泊松方程
施图姆-刘维尔理论
N体问题
积分方程
相关数学家
牛顿
莱布尼兹
柯西
魏尔斯特拉斯
黎曼
拉格朗日
欧拉
帕斯卡
海涅
巴罗
波尔查诺
狄利克雷
格林
斯托克斯
若尔当
达布
傅里叶
拉普拉斯
雅各布·伯努利
约翰·白努利
阿达马
麦克劳林
迪尼
沃利斯
费马
达朗贝尔
黑维塞
吉布斯
奥斯特罗格拉德斯基
刘维尔
棣莫弗
格雷果里
玛达瓦（英语：Madhava of Sangamagrama）
婆什迦罗第二
阿涅西
阿基米德
历史名作
从无穷小量分析来理解曲线（英语：Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes）
分析学教程（英语：Cours d'Analyse）
无穷小分析引论
用无穷级数做数学分析（英语：De analysi per aequationes numero terminorum infinitas）
流形上的微积分（英语：Calculus on Manifolds (book)）
微积分学教程
纯数学教程（英语：A Course of Pure Mathematics）
机械原理方法论（英语：The Method of Mechanical Theorems）
分支学科
实变函数论
复分析
傅里叶分析
变分法
特殊函数
动力系统
微分几何
微分代数
向量分析
分数微积分
玛里亚温微积分（英语：Malliavin calculus）
随机分析
最优化
非标准分析
查论编
广义积分，又称为反常积分、异常积分（英语：Improper integral ），是对普通定积分的推广。
广义积分可以分成两类，第一类又称为无穷积分，指积分区间的上限或下限为无穷的积分。第二类称为反常积分，指被积函数在积分区间中含有不连续点的积分。
第一类反常积分[编辑]
第一类反常积分：上限或下限为无限的积分。
定义[编辑]
第一类反常积分是无穷积分，指积分区间的上限或下限中含有无穷 ∞ 的积分。数学定义如下：
设函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )}
上连续且可积。定义无穷积分：
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
=
lim
u
→
+
∞
∫
a
u
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{u\to +\infty }\int _{a}^{u}f(x)\,dx}
。
类似的，设函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在
(
−
∞
,
a
]
{\displaystyle (-\infty ,a]}
上连续且可积。定义无穷积分：
∫
−
∞
a
f
(
x
)
d
x
=
lim
u
→
−
∞
∫
u
a
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx=\lim _{u\to -\infty }\int _{u}^{a}f(x)\,dx}
。
当上述极限存在时，称该积分收敛。当上述极限不存在时，称该积分发散。
例子如下：
∫
1
∞
1
x
2
d
x
=
lim
u
→
+
∞
∫
1
u
1
x
2
d
x
=
1
{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\lim _{u\to +\infty }\int _{1}^{u}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=1}
；
∫
1
∞
1
x
d
x
=
lim
u
→
+
∞
∫
1
u
1
x
d
x
=
+
∞
{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\lim _{u\to +\infty }\int _{1}^{u}{\frac {1}{x}}\,dx=+\infty }
，即发散；
∫
1
∞
x
sin
x
d
x
=
lim
u
→
+
∞
∫
1
u
x
sin
x
d
x
{\displaystyle \int _{1}^{\infty }x\sin x\,dx=\lim _{u\to +\infty }\int _{1}^{u}x\sin x\,dx}
，振动发散。
推广定义[编辑]
第一类反常积分的定义能进一步推广至上限及下限皆为无穷 ∞ 的积分。
设函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
上连续且可积。定义无穷积分：
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
d
x
=
lim
u
→
−
∞
lim
v
→
+
∞
∫
u
v
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{u\to -\infty }\lim _{v\to +\infty }\int _{u}^{v}f(x)\,dx}
。
或者取区间上任意一点
c
{\displaystyle c}
，分拆写成：
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
d
x
=
lim
u
→
−
∞
∫
u
c
f
(
x
)
d
x
+
lim
v
→
+
∞
∫
c
v
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{u\to -\infty }\int _{u}^{c}f(x)\,dx+\lim _{v\to +\infty }\int _{c}^{v}f(x)\,dx}
。
当上述极限同时存在时，称该积分收敛。当上述极限至少有一个不存在时，称该积分发散。
例子如下：
∫
−
∞
∞
x
e
−
x
2
d
x
=
lim
u
→
−
∞
∫
u
0
x
e
−
x
2
d
x
+
lim
v
→
+
∞
∫
0
v
x
e
−
x
2
d
x
=
−
1
2
+
1
2
=
0
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }xe^{-x^{2}}\,dx=\lim _{u\to -\infty }\int _{u}^{0}xe^{-x^{2}}\,dx+\lim _{v\to +\infty }\int _{0}^{v}xe^{-x^{2}}\,dx=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=0}
；
∫
−
∞
∞
x
d
x
=
lim
u
→
−
∞
∫
u
0
x
d
x
+
lim
v
→
+
∞
∫
0
v
x
d
x
=
−
∞
+
∞
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx=\lim _{u\to -\infty }\int _{u}^{0}x\,dx+\lim _{v\to +\infty }\int _{0}^{v}x\,dx=-\infty +\infty }
，即发散。
与柯西主值的联系[编辑]
在无穷积分的推广定义中，两个极限须分别处理，即两者的收敛速度可能不同。在柯西主值的理解下，可假设两个极限的收敛速度相同。
设函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
上连续且可积。定义无穷积分的柯西主值：
P
V
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
d
x
=
lim
R
→
+
∞
∫
−
R
R
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \mathrm {PV} \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{R}f(x)\,dx}
。
若在相同收敛速度下，两者可以互相抵消，则该积分的柯西主值存在。举例来说：
P
V
∫
−
∞
∞
x
d
x
=
lim
R
→
+
∞
∫
−
R
R
x
d
x
=
0
{\displaystyle \mathrm {PV} \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx=\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{R}x\,dx=0}
。
根据定义，若无穷积分收敛，则其柯西主值收敛，且二者相等。但无穷积分的柯西主值收敛，该积分未必收敛。
第二类反常积分[编辑]
第二类反常积分：被积函数的区间中含有不连续点。
定义[编辑]
第二类反常积分是反常积分，指积分区间的上限或下限是被积函数的不连续点。数学定义如下：
设函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在
(
a
,
b
]
{\displaystyle (a,b]}
上连续且可积，但在点
a
{\displaystyle a}
不连续。定义反常积分：
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
lim
u
→
a
+
∫
u
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{u\to a^{+}}\int _{u}^{b}f(x)\,dx}
。
类似的，设函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)}
上连续且可积，但在点
b
{\displaystyle b}
不连续。定义反常积分：
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
lim
u
→
b
−
∫
a
u
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{u\to b^{-}}\int _{a}^{u}f(x)\,dx}
。
当上述极限存在时，称该积分收敛。当上述极限不存在时，称该积分发散。
例子如下：
∫
0
3
1
3
−
x
d
x
=
lim
u
→
3
−
∫
0
u
1
3
−
x
d
x
=
2
3
{\displaystyle \int _{0}^{3}{\frac {1}{\sqrt {3-x}}}\,dx=\lim _{u\to 3^{-}}\int _{0}^{u}{\frac {1}{\sqrt {3-x}}}\,dx=2{\sqrt {3}}}
；
∫
0
1
1
x
2
d
x
=
lim
u
→
0
+
∫
u
1
1
x
2
d
x
=
+
∞
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\lim _{u\to 0^{+}}\int _{u}^{1}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=+\infty }
，即发散。
推广定义[编辑]
第二类反常积分的定义能进一步推广至上限及下限皆为不连续点，或上限及下限之间含有不连续点的积分。
设函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
上连续且可积，但在点
a
{\displaystyle a}
及
b
{\displaystyle b}
不连续。定义反常积分：
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
lim
u
→
a
+
lim
v
→
b
−
∫
u
v
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{u\to a^{+}}\lim _{v\to b^{-}}\int _{u}^{v}f(x)\,dx}
。
或者取区间上任意一点
c
{\displaystyle c}
，分拆写成：
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
lim
u
→
a
+
∫
u
c
f
(
x
)
d
x
+
lim
v
→
b
−
∫
c
v
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{u\to a^{+}}\int _{u}^{c}f(x)\,dx+\lim _{v\to b^{-}}\int _{c}^{v}f(x)\,dx}
。
设函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在
[
a
,
c
)
{\displaystyle [a,c)}
及
(
c
,
b
]
{\displaystyle (c,b]}
上连续且可积，但在点
c
{\displaystyle c}
不连续。定义反常积分：
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
lim
u
→
c
−
∫
a
u
f
(
x
)
d
x
+
lim
v
→
c
+
∫
v
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{u\to c^{-}}\int _{a}^{u}f(x)\,dx+\lim _{v\to c^{+}}\int _{v}^{b}f(x)\,dx}
。
当上述极限同时存在时，称该积分收敛。当上述极限至少有一个不存在时，称该积分发散。
例子如下：
∫
−
1
1
1
x
2
3
d
x
=
lim
u
→
0
−
∫
−
1
u
1
x
2
3
d
x
+
lim
v
→
0
+
∫
v
1
1
x
2
3
d
x
=
6
{\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\,dx=\lim _{u\to 0^{-}}\int _{-1}^{u}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\,dx+\lim _{v\to 0^{+}}\int _{v}^{1}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\,dx=6}
；
∫
−
1
1
1
x
d
x
=
lim
u
→
0
−
∫
−
1
u
1
x
d
x
+
lim
v
→
0
+
∫
v
1
1
x
d
x
=
−
∞
+
∞
{\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=\lim _{u\to 0^{-}}\int _{-1}^{u}{\frac {1}{x}}\,dx+\lim _{v\to 0^{+}}\int _{v}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=-\infty +\infty }
，即发散。
与柯西主值的联系[编辑]
在反常积分的推广定义中，两个极限须分别处理，即两者的收敛速度可能不同。在柯西主值的理解下，可假设两个极限的收敛速度相同。
设函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
上连续且可积，但在点
a
{\displaystyle a}
及
b
{\displaystyle b}
不连续。定义反常积分的柯西主值：
P
V
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
lim
ε
→
0
+
∫
a
+
ε
b
−
ε
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \mathrm {PV} \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a+\varepsilon }^{b-\varepsilon }f(x)\,dx}
；
设函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在
[
a
,
c
)
{\displaystyle [a,c)}
及
(
c
,
b
]
{\displaystyle (c,b]}
上连续且可积，但在点
c
{\displaystyle c}
不连续。定义反常积分的柯西主值：
P
V
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
lim
ε
→
0
+
[
∫
a
c
−
ε
f
(
x
)
d
x
+
∫
c
+
ε
b
f
(
x
)
d
x
]
{\displaystyle \mathrm {PV} \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left[\int _{a}^{c-\varepsilon }f(x)\,dx+\int _{c+\varepsilon }^{b}f(x)\,dx\right]}
若在相同收敛速度下，两者可以互相抵消，则该积分的柯西主值存在。举例来说：
P
V
∫
−
1
1
1
x
d
x
=
lim
ε
→
0
+
∫
−
1
+
ε
1
−
ε
1
x
d
x
=
0
{\displaystyle \mathrm {PV} \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }{\frac {1}{x}}\,dx=0}
。
根据定义，若反常积分收敛，则其柯西主值收敛，且二者相等。但反常积分的柯西主值收敛，该积分未必收敛。
参考文献[编辑]
欧阳光中、朱学炎、陈传璋 (2007)。《数学分析（下册）》。第三版。高等教育出版社。ISBN 978-7-04-020743-9。
Weisstein, Eric W. Improper Integral. From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ImproperIntegral.html（页面存档备份，存于互联网档案馆）
Weisstein, Eric W. Cauchy Principal Value. From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CauchyPrincipalValue.html（页面存档备份，存于互联网档案馆）
参见[编辑]
积分
极限
柯西主值